Équation d'évolution du vecteur tourbillon

[passiion 0]

Guten Tag

Bon ce que je cherche dans la question suivante c'est de "résoudre" l'équation d'évolution du tourbillon en mettant des chiffres pouvant être pris au hasard ce n'est pas le problème. Paix avait déjà fait de même avec l'équation du tourbillon relatif, qui va beaucoup plus vite certes ( déterminer si l'on a une rotation cyclonique ou anticyclonique) . C'est juste pour voir la tronche que cela a et la façon de faire lorsqu'on la résous ( intuitivement cela m'aiderais ^^ ). L'équation en question et celles asservies se trouvent à la page 266,267,268 et 269 de fondamentaux de météo.

Pour rappel c'est cela l'équation en question :

D(Ta)/D(t) = D(zeta)/Dt = -div(u)x Ta + grad(p)^grad(alpha)+ (Ta x grad) x u

Ici on dit que l'évolution du Ta est égal à celle du Tr puisque le tourbillon planétaire n'a pas d'importance sur l'évolution ici ( f = f0 donc constant, si je dis pas de bêtise ).

Le ^ c'est produit vectoriel.

Alpha = 1/p

Donc voilà ^^ j'espère que ça ne sera pas trop Hard à mettre en résolution.

Modifié 9 août 2013 par passiion

[paix 0]

Pour les gars qui n'auraient pas fondamentaux de météorologie, les pages 266, 267 et 268 dont il est question causent de tourbillon. Elles expliquent que le tourbillon ζ_a (zêta) absolu est la somme de ζ, le tourbillon relatif, et de ζ_p, le tourbillon d'entrainement, autrement dit Coriolis. Ensuite elles donnent l'équation qu'a filée passiion, et elles explicitent chaque terme l'un après l'autre. Je noterais U le vecteur vent total (ce qu'on se prend dans la figure quand on sort dehors quoi ) tel que U(u,v,w). Ce sera plus simple (pour moi en tout cas ). So what ?

Le premier terme, A = -div(U) * ζ_a , est connu. C'est ce schéma :

Dans le bouquin, le cas de la divergence vient en deuxième dans le schéma, mais sinon il a le même crobar. Quand l'air convergence, cela provoque un étirement de la colonne d'air. La rotation accélère alors. C'est le coup du patineur, quand il range ses bras il tourne plus vite. Inversement quand la colonne d'air diverge. Pour ceux qui doutent

http://youtu.be/Qgk0CZmILA8?t=1m35s

La demoiselle commence à tourner sur elle même, puis pour s'arrêter écarte grand les bras... Et elle le fait plusieurs fois de suite en plus

La divergence de U est d'environ 1 à 3 * 10^-5 s^-1 dans l'atmosphère. La divergence de U, mathématiquement, c'est :

div(U) = du/dx + dv/dy

Si on s'amuse un peu à quadriller avec les radiosondages du jour, on a, à 500 hPa :

pour Stuttgart, u = 9.2 m/s et v = -3.3 m/s, http://weather.uwyo.edu/cgi-bin/sounding?r...&STNM=10739

pour Kuemmersbruck, u = 7.2 m/s et v = 0.6 m/s, http://weather.uwyo.edu/cgi-bin/sounding?r...&STNM=10410

pour Meiningen, u = 9.6 m/s et v = 1.7 m/s, http://weather.uwyo.edu/cgi-bin/sounding?r...&STNM=10548

pour Idar, u = 9.8 m/s et v = 9.8 ms, http://weather.uwyo.edu/cgi-bin/sounding?r...&STNM=10618

En gros (on n'est pas à 50 kms près ), on quadrille Wurtzbourg. Stuttgart et Meiningen sont alignés (230kms de distance) dans la direction méridionale avec Wurtzbourg au milieu, et Idar et Meiningen (330 kms de distance) sont alignés dans la direction zonale avec Cologne au milieu, d'où :

div(U) = ( 7.2 - 9.8 ) / 330 000 + ( 9.6 - 9.2 ) / 220 000

div(U) = -0.6 * 10^-5 s^-1

En gros. La divergence tourne toujours souvent de 1 à 3 * 10^-5 s^-1. Ici, le contexte est peu convergent (vu que c'est négatif, c'est de la convergence) donc cela donne des valeurs faibles.

De même on peut calculer le tourbillon :

ζ_a = rot(U) + f = dv/dx - du/dy + f

ζ_a = rot(U) + f = ( 9.6 - 9.2 ) / 330 000 - ( 7.2 -9.8 ) / 220 000 + f

ζ_a = rot(U) + f = 1.3 * 10^-4

Ce qui correspond à peu près au dernier GFS, cela va on n'est pas trop des quiches ^^ On a 1.12*10^-4 s^-1 de tourbillon d'entrainement et 0.15 * 10^-4 s^-1 de tourbillon absolu. GFS donne plus 2 * 10 ^-4 de tourbillon absolu, mais vu la précision du calcul faut pas trop en demander non plus

Le produit des deux donne un truc tout petit.

A = -div(U) * ζ_a = 7.8 * 10^-10

C'est bien positif, la convergence tend à accélérer la rotation de la colonne d'air. On a donc pour le premier terme 7.8 * 10^-10 s^-2.

Le deuxième terme, il faut vraiment être motivé pour le calculer ^^ À l'échelle synoptique c'est tout petit petit. Mais bon, c'est pour MB alors va. Pour le calcul de la masse volumique, on négligera la vapeur d'eau. Ce n'est pas les tropiques ici, avec une humidité entre 10% et 20% à -15°C cela ne changera pas grand'chose. Et puis j'ai la flemme de sortir les équations de l'air humide à une pression aussi basse...

On reprend toujours les mêmes sondages, avec Wurtzbourg comme gros joujou de nos bidouillage

pour Stuttgart, ρ = 0.6767 kg / m3, http://weather.uwyo.edu/cgi-bin/sounding?r...&STNM=10739

pour Kuemmersbruck, ρ = 0.6799 kg / m3 (Vous noterez comme c'est mal barré ^^ la densité change au troisième chiffre...), http://weather.uwyo.edu/cgi-bin/sounding?r...&STNM=10410

pour Meiningen, ρ = 0.6799 kg / m3 (on n'est pas dans la m... ), http://weather.uwyo.edu/cgi-bin/sounding?r...&STNM=10548

pour Idar, ρ = 0.6767 kg / m3 (re ^^ ), http://weather.uwyo.edu/cgi-bin/sounding?r...&STNM=10618

Pour le gradient de P, on va calculer la pression à 5760m exactement pour tout le monde. À Stuttgart, P = 499.3 hPa ; à Meiningen, P = 501.4 hPa, à Kuemmersbruck, P = 500 hPa et à Idar, P = 500 hPa.

B = -( grad(P) ^ grad(ρ) ) / ρ²

grad(P) = ( ( 500- 500 ) / 330 000 , ( 501.4 - 499.3 ) / 220 000 )

grad(P) = ( 0 , 9.5E-6 )

grad(ρ) = ( ( 0.6799 - 0.6767 ) / 330 000 , (0.6799 - 0.6767) / 220 000 )

grad(ρ) = ( 1.5E-8 , 9.7E-9 )

B = -( grad(P) ^ grad(ρ) ) / ρ² = ( 0 * 9.7E-9 - 9.5E-6 * 1.5E-8 ) / 0.6783²

B = -( grad(P) ^ grad(ρ) ) / ρ² = 3.1 * 10 ^-13 s^-2

Moralité, cela ne servait effectivement à rien

Pour le dernier terme, je ne tente même pas ^^ Il faudrait avoir le vecteur tourbillon, et pas juste sa composante verticale. Là à l'échelle synoptique ce n'est même pas la peine. Pour la petite explication, ζ_a ici n'était en fait que la composante verticale du tourbillon, qui domine largement. Strictement, ζ_a est en fait ζ_a,k et :

ζ_a = ( ζ_a,x , ζ_a,y , ζ_a,k ). Dans le premier terme, on aurait du, si on n'était pas des sauvages, calculer la divergence en 3D de U (on l'a calculé en 2D) et multiplié chaque composante x, y, z par cette divergence. J'ai coupé court parce que d'une part le tourbillon sur x et y à l'échelle synoptique, d'autre part w, ce sont des aiguilles dans une botte de foin (et encore). L'écriture complète de A (celui de tout à l'heure) est normalement (en notant bien que -div(U) est un scalaire, ie. un nombre tout à fait "normal", pas un vecteur) :

A = -div(U) . ( ζ_a,x * d/dx , ζ_a,y * d/dy , ζ_a,z * d/dz )

A = -div(U) * ζ_a,x -div(U) * ζ_a,y -div(U) * ζ_a,z

On dit que ζ_a,x et ζ_a,y ne sont pas sollicitables, et donc :

A = -div(U) * ζ_a,z, ce que l'on a fait... Ici on ne pourra pas couper court puisque mathématiquement cela est ainsi :

C = ( ζ_a,x * d/dx , ζ_a,y * d/dy , ζ_a,z * d/dz ) . ( u , v , w )

C = ζ_a,x * du/dx + ζ_a,y * dv/dy + ζ_a,z * dw/dz

Il n'a donc pas moyen d'éviter les composantes x et y de zêta pour les deux premiers termes, w pour le dernier.

Modifié 12 août 2013 par paix

[passiion 0]

Houla merci pour le pavé Qu'on ne me prenne pas pour un fou qui réactualise toute les 5 minutes en attendant ta réponse hein, je suis juste arrivé alors que tu venais de posté

B = -( grad(P) ^ grad(ρ) ) / ρ²

grad(P) = ( ( 500- 500 ) / 330 000 , ( 501.4 - 499.3 ) / 220 000 )

grad(P) = ( 0 , 9.5E-6 )

grad(ρ) = ( ( 0.6799 - 0.6767 ) / 330 000 , (0.6799 - 0.6767) / 220 000 )

grad(ρ) = ( 1.5E-8 , 9.7E-9 )

B = -( grad(P) ^ grad(ρ) ) / ρ² = ( 0 * 9.7E-9 - 9.5E-6 * 1.5E-8 ) / 0.6783²

B = -( grad(P) ^ grad(ρ) ) / ρ² = 3.1 * 10 ^-13 ^-2

Ici j'espère que tu as bien fait gaffe, ce n'est pas une puissance le sigle "^" mais un produit vectoriel hein

En tout cas à la fin on remarque effectivement que l'ordre de grandeur est négligeable devant le terme A quand même. L'ordre de grandeur du terme C à l'échelle synoptique aussi est négligeable il me semble. Je ne connais ce terme que pour le basculement de tourbillon horizontal en tourbillon verticale dans les supercellules et pour les phénomènes de tornades mésocycloniques ( a moins qu'il y'ait des phénomènes de bascule à l'échelle synop' que je ne connais pas) . Je pense que le fait que tu ne l'ai pas tenté n'a pas une incidence super importante sur le résultat final. D'ailleurs au final on peut conclure quoi lorsque l'on additionne tout ? La réponse doit ressembler à ce que tu as trouvé pour le terme A si les 2 autres sont négligeables ^^

Modifié 10 août 2013 par passiion

[paix 0]

Houla merci pour le pavé Qu'on ne me prenne pas pour un fou qui réactualise toute les 5 minutes en attendant ta réponse hein, je suis juste arrivé alors que tu venais de posté

Ici j'espère que tu as bien fait gaffe, ce n'est pas une puissance le sigle "^" mais un produit vectoriel hein

Yep bien sûr :

grad(P) ^ grad(ρ) = ( dP/dx , dP/dy , dP/dz ) ^ ( dρ/dx , dρ/dy , dρ/dz )

grad(P) ^ grad(ρ) = ( dP/dy * dρ/dz - dP/dz * dρ/dy , dP/dz * dρ/dx - dP/dx * dρ/dz , dP/dx * dρ/dy - dP/dy * dρ/dx )

Ici j'ai simplifié à la composante z, comme pour A. Il aurait fallu un sondage à Wurtzbourg aussi sinon ^^ et puis c'est tellement faible de toute façon.

En tout cas à la fin on remarque effectivement que l'ordre de grandeur est négligeable devant le terme A quand même. L'ordre de grandeur du terme C à l'échelle synoptique aussi est négligeable il me semble. Je ne connais ce terme que pour le basculement de tourbillon horizontal en tourbillon verticale dans les supercellules et pour les phénomènes de tornades mésocycloniques ( a moins qu'il y'ait des phénomènes de bascule à l'échelle synop' que je ne connais pas) . Je pense que le fait que tu ne l'ai pas tenté n'a pas une incidence super importante sur le résultat final. D'ailleurs au final on peut conclure quoi lorsque l'on additionne tout ? La réponse doit ressembler à ce que tu as trouvé pour le terme A si les 2 autres sont négligeables ^^

Oui, il ne reste essentiellement que le terme A. Additionné un 10^-10 et un 10^-13, cela fait toujours quelque du genre 10^-10. Le terme C a effectivement de l'importance dans un contexte convectif à mésoéchelle. C'est ce qui fait une supercellule. À l'échelle synoptique, le terme d'étirement domine clairement.

[passiion 0]

D'acc

Je ne sais pas après si c'est possible de développer des démonstrations comme celle ci a d'autres procédés certainement plus long.

[passiion 0]

Bon je propose qu'on fasse la même chose avec les équations de l'équilibre du vent thermique et compagnie

Il se trouve qu'il y'a aussi les vecteurs Q dedans, donc comme paix à le bouquin je précise juste les pages ou se trouve le tralala , 343 à 346 ( peut être 347). Si il arrive à mettre cela en résolution, les équations seront d'offices présentées donc pas la peine que je les écrivent moi même ici pour rien

Modifié 11 août 2013 par passiion

[paix 0]

Tu es bien toi, tient je veux cela et démerde-toi ^^ Cela va que tu as une bonne gueule et que c'est pour MB (on se trouve les excuses qu'on peut ). Je le ferais ce soir ou demain, cela prend du temps quand même.

[paix 0]

Bon je propose qu'on fasse la même chose avec les équations de l'équilibre du vent thermique et compagnie

La musique classique aide à la concentration dit-on ('y avait eu une étude à ce sujet ^^ )

L'équation du vent thermique dérive de l'équation du vent géostrophique. Je garde la notation du vent : V_g ( u_g , v_g , w_g ) ; dans un repère O(i,j,k). Le vent géostrophique sur une isohypse est :

u_g = -g/f * dZ / dy

v_g = g/f * dZ / dx

Ce que l'on peut généraliser :

V_g = -g/f * ∇Z ^ k

Si l'on développe fissa :

V_g = -g/f * ( dZ/dx , dZ/dy , dZ/dz ) ^ ( 0 , 0 , 1)

remarque bête, mais ne confondez pas Z, l'altitude du gpt et z, une notation générique de la variable de l'axe k ^^

V_g = -g/f * ( dZ/dy , -dZ/dx , 0 )

On retrouve bien les composante de u et de v.

Toujours dans le genre remarque bête, mais ne confondez pas non plus Z, l'altitude du géopotentiel en mètres, et Φ, le géopotentiel en J/kg (équivalent à des m² / s²). Il y a le facteur g entre les 2 :

Φ = g * Z avec g ~ 9.81 m/s^-2

On peut écrire le vent thermique en fonction de Φ du coup :

V_g = -1/f * ∇Φ ^ k

C'est l'autre forme du vent géostrophique qui est souvent sorti.

Pour les calculs et autres cela a déjà du être fait je ne sait plus où. Juste pour montrer rapidement :

Le gradient de Z500 est en gros purement zonal sur le centre de la France, avec 5840m à Montpellier et 5680 à Saint Quentin, distance 700 kilomètres à vol de pigeon voyageur. D'où :

V_g ~ u_g = - ( 9.81 / 0.000103 ) * ( ( 5680 - 5840 ) / 700 000 )

V_g ~ u_g = 21.7 m/s

En km/h cela fait 78 km/h et en kt cela fait 42 kt.

Si on regarde ce que dit GFS :

Cela passe, GFS dit 45 à 50 kt, sachant que ce n'est pas tout à fait zonal. On est bon

Le vent thermique découle du vent géostrophique et s'écrit (même notation, V_T ( u_T , v_T ) ) :

V_T = ( R / f ) * log (p0 / p1) * k ^ ∇T_moy (note : log c'est logarithme népérien )

Ce que l'on peut bien sûr écrire composante par composante (si après cela vous ne savez pas faire un produit vectoriel XD ) :

u_T = - ( R / f ) * log (p0 / p1) * dT_moy / dy

v_T = ( R / f ) * log (p0 / p1) * dT_moy / dx

N'est ce pas magnifique ?

Je vous aurez bien sorti les sondages de 00Z pour étayer avec du chiffres, mais le site de l'université du Wyoming fait la gueule ce soir. On va se débrouiller avec GFS 00Z En plus cela fera manipuler l'équation du Z, c'est du bonus gratuit On va quand même prendre une situation presque purement zonal. On ne calculera donc pas de vent méridional. On pourrait se le faire bien sûr, mais c'est déjà bien assez long ainsi ^^

On se placera entre le niveau 850 hPa et 300 hPa cette fois ci pour éviter la surface, où les équations géostrophiques ne sont plus valides.

À 850 hPa :

À 300 hPa :

On va prendre approximativement Bordeaux avec un Z850 ~ 1550m et un Z300 ~ 9600m et Cherbourg avec un Z850 ~ 1520m et un Z300 ~ 9440m. Les deux villes sont distantes de 550 kilomètres environ, et sont approximativement sur la même longitude. Le vent zonal à 850hPa est alors :

u_g = -g/f * dZ / dy

u_g = - ( 9.81/0.000103 ) * ( ( 1520 - 1550 ) / 550 000)

u_g = 5.2 m/s

Le vent zonal est donc d'environ 10 kt pour Nantes à 850 hPa. Ce que donne quasi exactement GFS ^^ On est des bons, il n'y a pas à dire le contraire

Et le u300 :

u_g = -g/f * dZ / dy

u_g = - ( 9.81/0.000103 ) * ( ( 9440 - 9600 ) / 550 000)

u_g = 27.7 m/s

Le vent zonal est donc d'environ 55 kt pour Nantes à 850 hPa. Ce que donne là aussi quasi exactement GFS ^^ J’insiste, on est des bons, il n'y a pas à dire le contraire

Sorti de ces d'émotions, remarquons que le vent a accéléré de 45 kt entre 850 hPa et 300 hPa. C'est là qu'on va voir si en tripatouillant l'équation du vent thermique on retrouve le même résultat :

u_T = - ( R / f ) * log (p0 / p1) * dT_moy / dy

Pour cela, il nous faut :

dT_moy / dy

On sait que le Z, altitude du géopotentiel, c'est :

Z = log(p0/p1) * (R/g) * T_moy

Donc :

T_moy = Z * (g/R) * 1/log(p0/p1)

Jusque là, tout le monde est d'accord je présume. Pour Bordeaux, l'épaisseur entre 850 hPa et 300 hPa est :

Z_Bdx,850-300 = 9600 - 1550

Z_Bdx,850-300 = 8050m

De même :

Z_Cbg,850-300 = 9440 - 1520

Z_Cbg,850-300 = 7920m

D'où :

T_Bdx,moy = 8050 * ( 9.81 / 289 ) * ( 1 / log(850/300) )

T_Bdx,moy = 8050 * ( 9.81 / 289 ) * ( 1 / log(850/300) )

T_Bdx,moy = 262.4 K

Comme quoi, avec -10° de moyenne à Bordeaux, il ne fait pas si chaud que cela en Été dans le Sud Ouest J'ai pris 289 USI et non 287 USI pour R à cause de la vapeur d'eau (à la réflexion 288 USI aurait été plus pertinent, mais bon on va se prendre la tête pour une unité ^^ c'est fait avec 289, va pour 289 ). Ce n'est pas les tropiques ici, mais il y a assez d'humidité pour influer un peu sur la valeur de R.

Et d'où :

T_Cbg,moy = 7920 * ( 9.81 / 289 ) * ( 1 / log(850/300) )

T_Cbg,moy = 7920 * ( 9.81 / 289 ) * ( 1 / log(850/300) )

T_Cbg,moy = 258.1 K

Si on revient à :

u_T = - ( R / f ) * log (p0 / p1) * dT_moy / dy

u_T = - ( 289 / 0.000103 ) * log ( 850 / 300 ) * ( ( 258.1 - 262.4 ) / 550 000 )

u_T = 22.8 m/s

Soit... 45 kt, la valeur à trouver On va pouvoir écrire un modèle météo bientôt, le MMB, modèle météo belge ^^

Ce qui précède nécessite peut-être une explication quand même. Le vent thermique n'est pas véritablement un vent mesuré contrairement à ce que son nom indique. Il représente en fait une variation du vent géostrophique avec l'altitude et la structure thermique de l'atmosphère. À cause du logarithme qui traîne un peu partout, quand on commence à s'élever significativement dans l'atmosphère, les gradients de Z augmentent grassement. À 850 hPa, le gradient est de seulement 30m sur 500 km. À 300 hPa, le gradient est de 160m, ce qui représente une hausse de plus de 500% ^^ D'où le fait que le vent accélère avec l'altitude. C'est cela qui crée le jet, la seule limite à l'accélération du vent étant la tropopause.

Pour étoffer l'analyse on peut ajouter un niveau intermédiaire à 500 hPa :

Je laisse à passiion le soin de faire les calculs entre 850 hPa et 500 hPa, et entre 500 hPa et 300 hPa. Le rapport des pressions est quasiment le même (1.7 et 1.67 respectivement), le log ne varie donc que de 3%. Cela laisse l'occasion d'analyser les équations à "log constant" si je puis dire.

Modifié 13 août 2013 par paix

[Eulzor 0]

Ah le jour où vous inventez un détecteur d'ascendances thermiques, on est preneur hein !

Style des lunettes qui coloreraient les "bulles" montantes en rouge et les "dégueulantes" en bleu. Mais je rêve... C'est grave Docteur ?

[Clément 0]

[passiion 0]

Merci pour le pavé j'ai fait une pause coté météo, du coup je vais me concentré plus franchement sur les pavés que tu as pondu. Par contre tu disais qu'il restait les vecteurs Q à faire dans ces équations de l'équilibre du vent thermique. Celà veut dire que ce que tu as expliqué n'est pas complet ou bien étudier via ces vecteurs est seulement une façon plus détaillée de traiter ce sujet ?

[bib 0]

waw, paix, faudra que tu me files les titres de musique classique que tu écoutes pour pondre tout ça !

Bravo et merci ! (même si cela me dépasse franchement...)

[passiion 0]

So bon après un long moment, c'est vrai qu'il m'avait demandé de faire un truc ^^

So bah directement pour l'épaisseur entre 850 hpa et 500 hpa pour Bordeaux :

ZBdx,850-500 = 5840 - 1550 = 4290m

Et pour Cherbourg :

ZCbg,850-500 = 5750-1550 = 4200 m

J'ai la chance de tombé sur un chiffre rond Pour la suite je reprend ses 289 USI ^^

TBdx,moy = 4290*(9.81/289)*( 1 /log(850/500)).

TBdx,moy = 274,43 K ( J'avais d'abord fait avec le log 'normal' de la calculette ça m'a donner un truc dans les 600

Et :

TCbg,moy = 4200 * ( 9.81/289)*(1/log(850/500)).

TCbg,moy = 268,68 K

Donc quand on reprend le truc juste de manière zonal :

Ut = - ( R / f ) * log (p0 / p1) * dTmoy / dy

Ut = - ( 289 / 0.000103)*log(850/500)*((268,68 - 274,43)/ 550 000 )

Ut = 15,56 m/s

Soit 30,24 kt. Ca semble correspondre aux carte prévues par GFS à l'époque ^^

Si On refait la meme pour le niveau 500 hpa/300 hpa :

Pour Bordeaux celà donne : 9600 - 5840 = 3760m

Pour Cherbourg celà donne : 9440 - 5750 = 3690m

D'ou :

TBdx,moy = 3760*(9.81/289)*( 1 /log(500/300))

TBdx,moy = 249,85 K

TCbg,moy = 3690*(9.81/289)*( 1 /log(500/300))

TCbg,moy = 245,20 K

Donc via celà si on calcul la vitesse du vent zonal :

Ut = - ( R / f ) * log (p0 / p1) * dTmoy / dy

Ut = - ( 289 / 0.000103)*log(500/300)*((245,20-249,85)/ 550 000 )

Ut = 12,12 m/s

Soit 23,55 Kt.

Le résultat doit un peut différer légèrement parceque comme dit cela varie de 3%.

Modifié 5 septembre 2013 par passiion

[paix 0]

Yep merci Je ferais le vecteur Q dès que j'ai un peu de temps, c'est promis

[passiion 0]

Yep merci Je ferais le vecteur Q dès que j'ai un peu de temps, c'est promis

On va enfin pouvoir parler de Q ^^